Question

14．若直線l與曲線M（x₀，y₀）滿足下列兩個條件：
（1）直線l在點M（x₀，y₀）處與曲線C相切；
（2）曲線C在點M附近位于直線l的兩側(cè)，則稱直線l在點M處“內(nèi)切”曲線C．
下列命題正確的是①②（寫出所有正確命題的編號）
①直線l：y=0在點M（0，0）處“內(nèi)切”曲線C：y=x³
②直線l：y=x在點M（0，0）處“內(nèi)切”曲線C：y=sinx
③直線l：y=x-1在點M（1，0）處“內(nèi)切”曲線C：y=lnx．

Answer 1

分析 分別求出每一個命題中曲線C的導(dǎo)數(shù)，得到曲線在點M處的導(dǎo)數(shù)值，求出曲線在點M處的切線方程，再由曲線在點M兩側(cè)的函數(shù)值與對應(yīng)直線上點的值的大小判斷是否滿足條件（2），則正確的選項可求．

解答 解：①，由y=x³，得y′=3x²，則y′|_x=0=0，直線y=0是在點M（0，0）處的曲線C的切線，
又當(dāng)x＞0時y＞0，當(dāng)x＜0時y＜0，滿足曲線C在M（0，0）附近位于直線y=0兩側(cè)，故命題①正確；
②，由y=sinx，得y′=cosx，則y′|_x=0=1，直線y=x是在點M（0，0）處的曲線的切線，
滿足曲線C在M（0，0）附近位于直線y=x兩側(cè)，故命題②正確；
③，由y=lnx，得y′=$\frac{1}{x}$，則y′|_x=1=1，曲線在M（1，0）處的切線為y=x-1，
由g（x）=x-1-lnx，得g′（x）=1-$\frac{1}{x}$，當(dāng)x∈（0，1）時，g′（x）＜0，當(dāng)x∈（1，+∞）時，
g′（x）＞0．則g（x）在（0，+∞）上有極小值也是最小值，為g（1）=0．
即y=x-1恒在y=lnx的上方，不滿足曲線C在點M附近位于直線l的兩側(cè)，故命題③錯誤．
故答案為：①②．

點評 本題考查命題的真假判斷與應(yīng)用，考查了利用導(dǎo)數(shù)研究過曲線上某點處的切線方程，綜合考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用．