【題目】已知函數
.
（1）若
是單調遞增函數，求實數a的取值范圍；
（2）若
恒成立，求實數a的取值范圍.
【答案】（1）
；（2）
【解析】
（1）求出函數的導數，問題轉化為
，根據函數的單調性求出
的范圍即可；
（2）令
（
），問題等價于
.求導數，判斷
的單調性，求最值即可.
（1）定義域
，
，
因為
是單調遞增函數，故
對恒成立，
即
對恒成立.
記
，則
，
由
，令
得
，
當
時，
，當
時，
，
故
在
單調遞減，在
單調遞增，
所以
，
從而.
（2）令
（），問題等價于.
由
，
，
∴函數
在
上是增函數，
容易證明時，
，
，
則
，
由
得，
（舍負）
從而取
，
；
另外，容易證明
，取正數x滿足
從而取c滿足
，有
.
（注：這里也可以這樣處理：當
時，
，
，
故
；
當
時，
，
，
）
所以存在唯一的
，使得
，當
時，
；
當
時，
；
從而在區間
上遞減，在
上遞增，
，
由，得：
，
∴
，
∴
，即
.
設
，則
為增函數，
，
，則有唯一零點，設為t，
則
，則
，即
，
令
，則
單調遞增，且
，
則
，即
，
∵
在
為增函數，
則當
時，a有最大值，
，
∴
，即a的取值范圍是.
科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖
，某十字路口的花圃中央有一個底面半徑為
的圓柱形花柱，四周斑馬線的內側連線構成邊長為
的正方形.因工程需要，測量員將使用儀器沿斑馬線的內側進行測量，其中儀器
的移動速度為
，儀器
的移動速度為
.若儀器與儀器的對視光線被花柱阻擋，則稱儀器在儀器的“盲區”中.
（1）如圖
，斑馬線的內側連線構成正方形
，儀器在點
處，儀器在
上距離點
處，試判斷儀器是否在儀器的“盲區”中，并說明理由；
（2）如圖
，斑馬線的內側連線構成正方形，儀器
從點出發向點
移動，同時儀器從點出發向點
移動，在這個移動過程中，儀器在儀器的“盲區”中的時長為多少？
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖，正方形
、
的邊長都是1，而且平面、互相垂直.點M在
上移動，點N在
上移動，若
（
）.
（1）當a為何值時，
的長最小；
（2）當長最小時，求面
與面
所成的二面角α的余弦值.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】雙紐線最早于1694年被瑞士數學家雅各布·伯努利用來描述他所發現的曲線.在平面直角坐標系
中，把到定點
，
距離之積等于
的點的軌跡稱為雙紐線
.已知點
是雙紐線上一點，下列說法中正確的有（ ）
①雙紐線經過原點
； ②雙紐線關于原點中心對稱；
③
； ④雙紐線上滿足
的點
有兩個.
A.①②B.①②③C.②③D.②③④
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