【題目】如圖，正方形
、
的邊長(zhǎng)都是1，而且平面、互相垂直.點(diǎn)M在
上移動(dòng)，點(diǎn)N在
上移動(dòng)，若
（
）.
（1）當(dāng)a為何值時(shí)，
的長(zhǎng)最小；
（2）當(dāng)長(zhǎng)最小時(shí)，求面
與面
所成的二面角α的余弦值.
【答案】（1）
； （2）
.
【解析】
（1）作
交
于點(diǎn)P，
交
于點(diǎn)Q，連接
，易得
是平行四邊形，再將
表示為關(guān)于a的函數(shù)，利用配方法求最小值即可；
（2）取的中點(diǎn)G，連接
、
，根據(jù)二面角的平面角的定義可知
即為二面角α的平面角，然后利用余弦定理求解即可.
解：（1）作交于點(diǎn)P，
交于點(diǎn)Q，連接，依題意可得
，且
，
即是平行四邊形
∴
. 由已知，
，
，
∴
，
即
∴
（
）
所以當(dāng)，即M，N分別移動(dòng)到
，
的中點(diǎn)時(shí)，的長(zhǎng)取最小值
；
（2）取的中點(diǎn)G，連接、，
∵
，
，
∴
，
，
∴即為二面角α的平面角.
又
，
所以由余弦定理有
.
故長(zhǎng)最小時(shí)，面
與面
所成的二面角α的余弦值為.
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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：
【題目】如圖，在三棱錐PABC中，
底面ABC，
，
，
，D，E分別是AC，PC的中點(diǎn)，F是PB上一點(diǎn)，且
，M為PA的中點(diǎn)，二面角
的大小為45°.
（1）證明：
平面AEF；
（2）求直線(xiàn)AF與平面BCM所成角的正弦值.
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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：
【題目】為了解全市統(tǒng)考情況，從所有參加考試的考生中抽取4000名考生的成績(jī)，頻率分布直方圖如下圖所示.
（1）求這4000名考生的半均成績(jī)
（同一組中數(shù)據(jù)用該組區(qū)間中點(diǎn)作代表）；
（2）由直方圖可認(rèn)為考生考試成績(jī)z服從正態(tài)分布
，其中
分別取考生的平均成績(jī)和考生成績(jī)的方差
，那么抽取的4000名考生成績(jī)超過(guò)84.81分（含84.81分）的人數(shù)估計(jì)有多少人？
（3）如果用抽取的考生成績(jī)的情況來(lái)估計(jì)全市考生的成績(jī)情況，現(xiàn)從全市考生中隨機(jī)抽取4名考生，記成績(jī)不超過(guò)84.81分的考生人數(shù)為
，求
.（精確到0.001）
附：①
；
②
，則
；
③
.
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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：
【題目】設(shè)集合
，設(shè)集合
是集合
的非空子集，中的最大元素和最小元素之差稱(chēng)為集合的直徑. 那么集合所有直徑為
的子集的元素個(gè)數(shù)之和為（ ）
A.
B.
C.
D.
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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：
【題目】如圖，四棱錐P﹣ABCD的底面是梯形．BC∥AD，AB＝BC＝CD＝1，AD＝2，
，
（Ⅰ）證明；AC⊥BP；
（Ⅱ）求直線(xiàn)AD與平面APC所成角的正弦值．
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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：
【題目】光伏發(fā)電是利用太陽(yáng)能電池及相關(guān)設(shè)備將太陽(yáng)光能直接轉(zhuǎn)化為電能.近幾年在國(guó)內(nèi)出臺(tái)的光伏發(fā)電補(bǔ)貼政策的引導(dǎo)下，某地光伏發(fā)電裝機(jī)量急劇上漲，如下表：
年份 | 2011年 | 2012年 | 2013年 | 2014年 | 2015年 | 2016年 | 2017年 | 2018年 |
年份代碼 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 |
新增光伏裝機(jī)量 | 0.4 | 0.8 | 1.6 | 3.1 | 5.1 | 7.1 | 9.7 | 12.2 |
某位同學(xué)分別用兩種模型：①
，②
進(jìn)行擬合，得到相應(yīng)的回歸方程并進(jìn)行殘差分析，殘差圖如下（注：殘差等于
）：
經(jīng)過(guò)計(jì)算得
，
，
，
，其中
，
.
（1）根據(jù)殘差圖，比較模型①，②的擬合效果，應(yīng)該選擇哪個(gè)模型？并簡(jiǎn)要說(shuō)明理由.
（2）根據(jù)（1）的判斷結(jié)果及表中數(shù)據(jù)建立
關(guān)于
的回歸方程，并預(yù)測(cè)該地區(qū)2020年新增光伏裝機(jī)量是多少.（在計(jì)算回歸系數(shù)時(shí)精確到0.01）
附：回歸直線(xiàn)的斜率和截距的最小二乘估計(jì)公式分別為：
，
.
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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：
【題目】如圖，在四棱錐P-ABCD中，
平面PCD，
，
，
，E為AD的中點(diǎn)，AC與BE相交于點(diǎn)O.
（1）證明：
平面ABCD.
（2）求直線(xiàn)BC與平面PBD所成角的正弦值.
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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：
【題目】已知函數(shù)
.
（1）若
是單調(diào)遞增函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（2）若
恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：
【題目】已知函數(shù)
．
（Ⅰ）求函數(shù)
的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）若
，不等式
恒成立，求實(shí)數(shù)
的取值范圍．
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