Question

【題目】已知函數(shù)．

（Ⅰ）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（Ⅱ）若，不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）見解析; （Ⅱ）.

【解析】試題分析：（1）根據(jù)已知條件求出，對參數(shù)的取值進行分類討論，即可求出的單調(diào)區(qū)間.

（2）將不等式轉(zhuǎn)化為.令，.通過導數(shù)研究的單調(diào)性，可知 ，即可求出實數(shù) 的取值范圍.

試題解析：（Ⅰ），

當時，，故，

∴函數(shù)在上單調(diào)遞增，

∴當時，函數(shù)的遞增區(qū)間為，無減區(qū)間．

當時，令，，

列表：

	＋	－	＋

由表可知，當時，函數(shù)的遞增區(qū)間為和，

遞減區(qū)間為．

（Ⅱ）∵，

∴由條件，對成立．

令，，

∴

當時，，

∴在上單調(diào)遞減，

∴，即

∴在上單調(diào)遞減，

∴，

故在上恒成立，只需，

∴，即實數(shù)的取值范圍是．

點晴：本題考查的用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和用導數(shù)解決不等式恒成立問題.研究單調(diào)性問題，首先看導函數(shù)對應的方程能否因式分解，否則的話需要對其判別式，

進行分別討論，時原函數(shù)單調(diào)，,需要對方程的根和區(qū)間的端點大小進行比較;第二問中的不等式恒成立問題，首選變量分離轉(zhuǎn)化為確定的函數(shù)求最值即可.