Question

【題目】已知函數(shù)f（x）=a﹣（a∈R）

（Ⅰ）判斷函數(shù)f（x）在R上的單調(diào)性，并用單調(diào)函數(shù)的定義證明；

（Ⅱ）是否存在實數(shù)a使函數(shù)f（x）為奇函數(shù)？若存在，求出a的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】(1)見解析（2）a=1．

【解析】試題分析：（1）定義域任取兩個變量x1，x2，并設(shè)x1＜x2，作差f（x1）﹣f（x2），差式變形成分式，利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性判斷正負，進而得函數(shù)的單調(diào)性。（2）因為定義域為R，所以 ，解方程求得 。利用奇函數(shù)定義證明。

試題解析：（1）證明：函數(shù)f（x）的定義域為R，對任意x1，x2∈R，設(shè)x1＜x2，

則f（x1）﹣f（x2）==．

∵y=2x是R上的增函數(shù)，且x1＜x2，

∴2x1﹣2x2＜0，

∴f（x1）﹣f（x2）＜0．

即f（x1）＜f（x2），

∴函數(shù)f（x）為R上的增函數(shù)；

（2）解：若函數(shù)f（x）為奇函數(shù)，

則f（0）=a﹣1=0，

∴a=1．

當a=1時，f（x）=1﹣．

∴f（﹣x）==﹣f（x），

此時f（x）為奇函數(shù)，滿足題意，

∴a=1．