Question

【題目】已知函數（）．

（Ⅰ）若曲線在點處的切線與直線垂直，求的值與曲線在點處的切線方程；

（Ⅱ）若，且當時， 恒成立，求的最大值．（）

Answer 1

【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）

【解析】試題分析：（Ⅰ）求導，利用導數的幾何意義和兩直線垂直的判定求出值，進而利用點斜式方程進行求解；（Ⅱ）分離參數，合理構造函數，將問題轉化為求函數的最值問題，再利用導數研究函數的單調性和最值．

試題解析：（Ⅰ）因為，所以， ．

又曲線在點處的切線與直線垂直，故，解得，

所以， ．

所以曲線在點處的切線方程為，即．

（Ⅱ）當時， 恒成立等價于恒成立，等價于當時， 恒成立．

設（），則，記，

則，所以在上單調遞增．

又， ，

所以在上存在唯一的實數根，使得，①

因此當時， ，即，則在上單調遞減；

當時， ，即，則在上單調遞增．

所以當時， ，由①可得，

所以．

因為， ，又， ，

所以，因此，

又，所以．