Question

8．已知直線l的參數方程是$\left\{\begin{array}{l}x=4t\\ y=4t+a\end{array}\right.（{t為參數}）（{a∈R}）$，圓C的極坐標方程為ρ=4cosθ-4sinθ．
（1）將直線l的參數方程化為普通方程，以及將圓C的極坐標方程化為直角坐標方程；
（2）若圓C上有且僅有三個點到直線l的距離為$\sqrt{2}$，求實數a的值．

Answer 1

分析 （1）利用參數方程與普通方程，極坐標方程與直角坐標方程互化方法，即可得出結論；
（2）當圓心到直線l的距離為$\sqrt{2}$時，圓C上有且僅有三個點到直線l的距離為$\sqrt{2}$，即可求實數a的值．

解答 解：（1）直線l的參數方程是$\left\{\begin{array}{l}x=4t\\ y=4t+a\end{array}\right.（{t為參數}）（{a∈R}）$得x-y+a=0即為直線l的普通方程；
將ρ=4cosθ-4sinθ等號左右兩邊同乘以ρ得：ρ²=4ρcosθ-4ρsinθ，
再由ρ²=x²+y²，ρcosθ=x，ρsinθ=y得x²+y²-4x+4y=0（x-2）²+（y+2）²=8，即為圓C的直角坐標方程；
（2）因為圓C的半徑為$2\sqrt{2}$，故當圓心到直線l的距離為$\sqrt{2}$時，圓C上有且僅有三個點到直線l的距離為$\sqrt{2}$；
所以圓心（2，-2）到直線x-y+a=0的距離為$\sqrt{2}$，即$\frac{{|{2+2+a}|}}{{\sqrt{2}}}=\sqrt{2}$，所以a=-6或a=-2．

點評 本題考查參數方程與普通方程，極坐標方程與直角坐標方程互化，考查直線與圓的位置關系，屬于中檔題．