Question

1．已知公比為q的等比數列{a_n}的前6項和S₆=63，且$4{a_1}，\frac{3}{2}{a_2}，{a_2}$成等差數列．
（1）求數列{a_n}的通項公式a_n；
（2）設{b_n}是首項為2，公差為-a₁的等差數列，其前n項和為T_n，是否存在n∈N^*，使得不等式T_n＞b_n成立？若存在，求出n的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）利用等差數列與等比數列的通項公式、求和公式即可得出．
（2）利用等差數列的求和公式可得b_n，T_n，假設存在n∈N^*，使得不等式T_n＞b_n成立，解出即可得出．

解答 解：（1）公比為q的等比數列{a_n}的前6項和S₆=63，且$4{a_1}，\frac{3}{2}{a_2}，{a_2}$成等差數列．
∴q≠1，$\frac{{a}_{1}（{q}^{6}-1）}{q-1}$=63，$2×\frac{3}{2}{a}_{2}$=4a₁+a₂，即3q=4+q，解得q=2，a₁=1．
∴a_n=2^n-1．
（2）b_n=2-（n-1）=3-n．
T_n=$\frac{n（2+3-n）}{2}$=$\frac{n（5-n）}{2}$，
假設存在n∈N^*，使得不等式T_n＞b_n成立，
則$\frac{n（5-n）}{2}$＞3-n，
解得1＜n＜6，可得n=2，3，4，5．

點評 本題考查了等差數列與等比數列的通項公式與求和公式、不等式的解法，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．