Question

【題目】已知橢圓的離心率為，橢圓和拋物線交于兩點(diǎn)，且直線恰好通過橢圓的右焦點(diǎn)．

（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）已知橢圓的左焦點(diǎn)為，左、右頂點(diǎn)分別為，經(jīng)過點(diǎn)的直線與橢圓交于兩點(diǎn)，記與的面積分別為，求的最大值．

Answer 1

【答案】(1) (2)

【解析】試題分析：（1）先得，則，結(jié)合離心率及可得方程；

（2）當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，直線的方程為，易得，當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為． ，與橢圓聯(lián)立得， ，利用韋達(dá)定理代入求解即可.

試題解析：

解：（1）不妨設(shè)，則，

又， ，聯(lián)立解得， ．

∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．

（2）當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，直線的方程為．

此時(shí)， ，

與的面積相等．

則．當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，

設(shè)直線的方程為． ，

設(shè)， ， ．

聯(lián)立，

化為： ，

， ， ，

與的面積相等．

則 ．

時(shí)， ．當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，

∴的最大值為．