Question

1．已知函數f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{2}^{1-x}，x≤0}\\{1-lo{g}_{2}x，x＞0}\end{array}\right.$，若|f（a）|≥2，則實數a的取值范圍是$（{-∞，\frac{1}{2}}]∪[{8，+∞}）$．

Answer 1

分析 根據解析式對a分類討論，分別列出不等式后，由指數、對數函數的性質求出實數a的取值范圍．

解答 解：由題意知，f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{2}^{1-x}，x≤0}\\{1-lo{g}_{2}x，x＞0}\end{array}\right.$，
①當a≤0時，不等式|f（a）|≥2為|2^1-a|≥2，
則2^1-a≥2，即1-a≥1，解得a≤0；
②當a＞0時，不等式|f（a）|≥2為$|1-lo{g}_{2}^{a}|≥2$，
則$1-lo{g}_{2}^{a}≥2$或$1-lo{g}_{2}^{a}≤-2$，
即$lo{g}_{2}^{a}≤-1$或$lo{g}_{2}^{a}≥3$，解得0＜a $≤\frac{1}{2}$或a≥8；
綜上可得，實數a的取值范圍是$（-∞，\frac{1}{2}]∪[8，+∞）$，
故答案為：$（-∞，\frac{1}{2}]∪[8，+∞）$．

點評 本題考查利用分段函數求不等式的解集，以及指數、對數函數的性質的應用，考查分類討論思想，化簡、變形能力．