Question

若實數a，b，c成等差數列，點P（-1，0）在動直線ax+by+c=0上的射影為M，點N（3，3），則|MN|的最大值是（　　）

• A、5+

  2

• B、5-

  2

• C、5+2

  2

• D、5-2

  2

Answer 1

考點：等差數列的性質

專題：等差數列與等比數列

分析：由a，b，c成等差數列得到a-2b+c=0，說明動直線ax+by+c=0恒過定點Q（1，-2），再由點P（-1，0）在動直線ax+by+c=0上的射影為M，可知M在以PQ為直徑的圓上，求出圓的圓心坐標和圓的半徑，再由兩點間的距離公式求出圓心到N點的距離，則|MN|的最大值為圓心到N點的距離加半徑．

解答：解：∵a，b，c成等差數列，
∴2b=a+c，即a-2b+c=0，
可得方程ax+by+c=0恒過Q（1，-2），

又點P（-1，0）在動直線ax+by+c=0上的射影為M，
∴∠PMQ=90°，
∴M在以PQ為直徑的圓上，
∴由中點坐標公式求得圓的圓心C坐標為（0，-1），
半徑r=

1

2

|PQ|=

1

2

(1+1)2+(-2-0)2

=

2

，
又N（3，3），
∴|CN|=

(3-0)2+(3+1)2

=5，
則|MN|的最大值是5+

2

．
故選：A．

點評：本題考查了等差數列的性質，訓練了直線系方程的應用，體現了數形結合的解題思想方法，是中檔題．