Question

（本小題滿分12分）

平面內動點P（x，y）與兩定點A（-2, 0）, B（2,0）連線的斜率之積等于，若點P的軌跡為曲線E，過點Q作斜率不為零的直線交曲線E于點．

（1）求曲線E的方程；

（2）求證：；

（3）求面積的最大值．

 

Answer 1

（1）；（2）略；（3）1.

【解析】

試題分析：（1）根據題意可分別求出連線，的斜率，，再由條件斜率之積為列出方程，進行化簡整理可得曲線的方程，注意點不與點重合.根據斜率的計算公式可求得，，所以，化簡整理可得曲線的方程為；

（2）若要證，只要證，再利用兩個向量數量積為零的坐標運算進行證明即可.那么由題意可設直線的方程為，，聯立直線與橢圓的方程消去，可得關于的一元二次方程，由違達定理知，則，，又，，所以，從而可以證明；

（3）根據題意可知，

又，故當時，的面積最大，最大面積為1.

試題解析：（1）設動點P坐標為，當時，由條件得：

，化簡得，

故曲線E的方程為. 4分（說明：不寫的扣1分）

（2）斜率不為0，所以可設方程為，與橢圓聯立得：設， 所以，. 6分

，

所以 8分

（3）面積為， 10分

當時的面積最大為. 12分[

考點：1.橢圓的方程；2.向量法證明兩直線垂直；3.三角形面積的計算.