Question

13．已知函數f（x）=ax²+bx+1（a，b為實數，a≠0，x∈R）．
（1）當函數f（x）的圖象過點（-1，0），且方程f（x）=0有且只有一個根，求f（x）的表達式；
（2）若函數f（x）為偶函數且a＞0，設F（x）=$\left\{\begin{array}{l}{f（x），x＞0}\\{-f（x），x＜0}\end{array}\right.$ 當m＞-n＞0，試判斷F（m）+F（n）能否大于0？

Answer 1

分析 （1）由函數f（x）的圖象過點（-1，0），且方程f（x）=0有且只有一個根，構造方程組，求出a，b的值，可得f（x）的表達式；
（2）若函數f（x）為偶函數且a＞0，則b=0．進而f（x）=ax²+1．由F（x）=$\left\{\begin{array}{l}{f（x），x＞0}\\{-f（x），x＜0}\end{array}\right.$ m＞-n＞0，可得F（m）+F（n）=a（m²-n²）＞0．

解答 解：（1）因為函數f（x）的圖象過點（-1，0），
所以a-b+1=0．
因為方程f（x）=0有且只有一個根，所以△=b²-4a=0．
所以b²-4（b-1）=0．
即b=2，a=1．
所以f（x）=x²+2x+1．…（4分）
（2）f（x）為偶函數，且a＞0，
所以b=0．
所以f（x）=ax²+1．
所以F（x）=$\left\{\begin{array}{l}{f（x），x＞0}\\{-f（x），x＜0}\end{array}\right.$=$\left\{\begin{array}{l}{ax}^{2}+1，x＞0\\-{ax}^{2}-1，x＜0\end{array}\right.$，
因為m＞-n＞0，
所以|m|＞|n|．
此時F（m）+F（n）=f（m）-f（n）=am²+1-an²-1=a（m²-n²）＞0．
所以F（m）+F（n）＞0．         …（7分）

點評 本題考查的知識點是二次函數的圖象和性質，熟練掌握二次函數的圖象和性質，是解答的關鍵．