Question

4．已知關于x的方程為x²+mx+n²=0，
（Ⅰ）若m=1，n∈[-1，1]，求方程有實數根的概率．
（Ⅱ）若m∈[-1，1]，n∈[-1，1]，求方程有實數根的概率．
（Ⅲ）在區間[0，1]上任取兩個數m和n，利用隨機數模擬的方法近似計算關于x的方程x²+mx+n²=0有實數根的概率，請寫出你的試驗方法．

Answer 1

分析 （Ⅰ）找出滿足條件的m，n的范圍，利用區間長度比求概率；
（Ⅱ）求出滿足條件的m，n的關系式，計算單元區域的面積，利用面積比求概率；
（Ⅲ）利用隨機數模擬的方法，結合滿足條件的隨機次數，利用頻率f=$\frac{{N}_{1}}{N}$，得出概率的近似值．

解答 解：（Ⅰ）m=1，方程x²+x+n²=0有實數根等價于△=1-4n²≥0即$-\frac{1}{2}$≤n≤$\frac{1}{2}$，…（1分）
由幾何概型概率公式得方程有解的概率為P=$\frac{\frac{1}{2}-（-\frac{1}{2}）}{1-（-1）}=\frac{1}{2}$．…（3分）
（Ⅱ）方程x²+mx+n²=0有實數根等價于△=m²-4n²≥0．即$\left\{\begin{array}{l}{m+2n≥0}\\{m-2n≥0}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{m+2n≤0}\\{m-2n≤0}\end{array}\right.$．
設事件A={方程有實根}，則A構成的區域面積為$2×\frac{1}{2}×1×1$=1
…（4分）
（m，n）可看成是平面內的點，試驗的所有結果所構成的區域為Ω={（m，n）|-1≤m≤1，-1≤n≤1}，
這是一個邊長為2的正方形區域，面積為4，…（6分）
所以由幾何概性概率告訴的關于x的方程x²+mx+n²=0有實數根的概率p=$\frac{{S}_{A}}{{S}_{Ω}}=\frac{1}{4}$．…（9分）
（Ⅲ）第一步：利用計算器或者計算機產生兩組0到1之間的隨機數：m=RAND，n=RAND；
第二步：統計試驗的總次數N和滿足條件“m²-4n²≥0”的次數N₁；
第三步：計算頻率f=$\frac{{N}_{1}}{N}$，得出概率的近似值為f=$\frac{{N}_{1}}{N}$．…（12分）

點評 本題考查了幾何概型的概率求法；關鍵是正確選擇幾何測度，利用公式求概率．