Question

15．已知函數f（x）=3^x，f（a+2）=81，g（x）=$\frac{{1-{a^x}}}{{1+{a^x}}}$．
（1）求g（x）的解析式并判斷函數g（x）的奇偶性；
（2）求函數g（x）的值域．

Answer 1

分析 （1）根據題意，由f（a+2）=81可得3^a+2=81，解可得a的值，即可得函數g（x）的解析式，結合g（x）的解析式，先分析其定義域，再分析g（-x）與g（x）的關系，即可得答案；
（2）由（1）得到g（x）的解析式，將其變形可得g（x）=$\frac{2}{1+{2}^{x}}$-1，結合指數函數的性質分析即可得答案．

解答 解：（1）由f（a+2）=3^a+2=81，得a+2=4，故a=2；
所以$g（x）=\frac{{1-{2^x}}}{{1+{2^x}}}$；
對于$g（x）=\frac{{1-{2^x}}}{{1+{2^x}}}$，其定義域為R，
而又由$g（{-x}）=\frac{{1-{2^{-x}}}}{{1+{2^{-x}}}}=\frac{{{2^x}-1}}{{{2^x}+1}}=-\frac{{1-{2^x}}}{{{2^x}+1}}=-g（x）$，
所以函數g（x）為奇函數；
（2）$g（x）=\frac{{1-{2^x}}}{{1+{2^x}}}=\frac{{2-（1+{2^x}）}}{{1+{2^x}}}=\frac{2}{{1+{2^x}}}-1$，
${2^x}∈（0，+∞）⇒{2^x}+1∈（1，+∞）⇒\frac{1}{{{2^x}+1}}∈（0，1）$，
所以$\frac{2}{{{2^x}+1}}$$∈（0，2）⇒\frac{2}{{1+{2^x}}}-1∈（-1，1）$，
即函數g（x）的值域為（-1，1）．

點評 本題考查函數的單調性、奇偶性的判定與應用，判定奇偶性之前要先分析函數的定義域．