Question

3．如圖，點F為橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）右焦點，圓A：（x-t）²+y²=$\frac{16}{3}$（t＜0）與橢圓C的一個公共點為B（0，2），且直線FB與圓A相切于點B．
（Ⅰ）求t的值和橢圓C的標準方程；
（Ⅱ）若F′是橢圓C的左焦點，點P是橢圓C上除長軸上兩個頂點外的任意一點，且∠F′PF=θ，求θ的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由題意知b=2，由此利用${t}^{2}+4=\frac{16}{3}$，能求出t；由定勾股定理求出c=2$\sqrt{3}$，a=4，由此能求出橢圓C的標準方程．
（Ⅱ）設|PF′|=m，|PF|=n，由余弦定理得cosθ=$\frac{2{b}^{2}}{mn}-1$≥$\frac{2{b}^{2}}{（\frac{m+n}{2}）^{2}}$-1，由此能求出cosθ的最小值為-$\frac{1}{2}$，θ的最大值為120°．

解答 解：（Ⅰ）由題意知b=2，
又${t}^{2}+4=\frac{16}{3}$，解得t²=$\frac{4}{3}$，
∵t＜0，∴t=-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
在Rt△AFB中，|AB|²+|FB|²=|AF|²，∴$\frac{16}{3}+（4+c）^{2}=（\frac{2\sqrt{3}}{3}+c）^{2}$，
解得c=2$\sqrt{3}$，a=4，
∴橢圓C的標準方程為$\frac{{x}^{2}}{16}+\frac{{y}^{2}}{4}=1$．
（Ⅱ）設|PF′|=m，|PF|=n，
則由余弦定理得：
cosθ=$\frac{{m}^{2}+{n}^{2}-（2c）^{2}}{2mn}$=$\frac{（m+n）^{2}-2mn-（2c）^{2}}{2mn}$
=$\frac{（2a）^{2}-2mn-（2c）^{2}}{2mn}$=$\frac{4{b}^{2}}{2mn}-1$=$\frac{2{b}^{2}}{mn}-1$≥$\frac{2{b}^{2}}{（\frac{m+n}{2}）^{2}}$-1，
∴cos$θ≥\frac{2{b}^{2}}{{a}^{2}}$-1，∴cosθ$≥\frac{8}{16}-1=-\frac{1}{2}$，
當且僅當m=n=4時，取等號，
∴cosθ的最小值為-$\frac{1}{2}$，θ的最大值為120°．

點評 本題考查橢圓方程的求法，考查角的最大值的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意橢圓性質、余弦定理的合理運用．