Question

13．在△ABC中，內角A、B、C的對邊長分別為a，b，c，若b²+c²-a²=bc
（1）求角A的大小；
（2）若$a=\sqrt{3}$，求BC邊上的中線AM的最大值．

Answer 1

分析 （1）由題意和余弦定理求出cosA的值，由內角的范圍和特殊角的三角函數值求出A；
（2）在ABC中由題意和余弦定理表示出a²，化簡后得b²+c²=bc+3，由重要不等式得bc≤3，由余弦定理表示出cosB，在ABM中由余弦定理表示出AM²，化簡后可求出AM的最大值．

解答 解：（1）因為b²+c²-a²=bc，
所以cosA=$\frac{{b}^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}$=$\frac{1}{2}$，
由0°＜A＜180°得A=60°；
（2）在ABC中，A=60°，a=$\sqrt{3}$，
由余弦定理得，a²=b²+c²-2bccosA，
化簡得，b²+c²-bc=3，則b²+c²=bc+3，
且b²+c²=bc+3≥2bc，得bc≤3，（當且僅當b=c時取等號）
在ABC中，cosB=$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-{b}^{2}}{2ac}$，
在ABM中，M是BC的中點，由余弦定理得，
AM²=AB²+BM²-2•AB•BM•cosB
=c²+$\frac{{a}^{2}}{4}$-2•c•$\frac{1}{2}a$•$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-{b}^{2}}{2ac}$
=$\frac{{2c}^{2}+2{b}^{2}-{a}^{2}}{4}$=$\frac{2（bc+3）-3}{4}$
=$\frac{2bc+3}{4}≤\frac{9}{4}$，則AM≤$\frac{3}{2}$，
所以中線AM的最大值是$\frac{3}{2}$．

點評 本題考查余弦定理，以及重要不等式在求最值中的應用，考查化簡、變形能力．