Question

18．已知各項均為正數的等比數列{a_n}的前三項為a，2，a+3，記前n項和為S_n．
（1）設S_n=63，求a和n的值；
（2）令b_n=（2n+1）a_n，求數列{b_n}的前n項和T_n．

Answer 1

分析 （1）利用等比數列的中項性質和公比的定義，及其前n項和公式即可得出a，n；
（2）求得b_n=（2n+1）a_n=（2n+1）•2^n-1．利用“錯位相減法”與等比數列的前n項和公式即可得出．

解答 解：（1）∵各項均為正數的等比數列{a_n}的前三項為a，2，a+3，
∴2²=a（a+3），化為a²+3a-4=0，解得a=1或-4．
∵a＞0，∴a=1．
∴a₁=1，a₂=2，公比q=$\frac{{a}_{2}}{{a}_{1}}$=2．
∴S_n=63=$\frac{{a}_{1}（1-{q}^{n}）}{1-q}$=$\frac{1-{2}^{n}}{1-2}$，解得n=6．
∴a=1，n=6．
（2）由（1）可得：a_n=2^n-1．
b_n=（2n+1）a_n=（2n+1）•2^n-1．
∴數列{b_n}的前n項和T_n=3•2⁰+5•2¹+7•2²+…+（2n+1）•2^n-1，
∴2T_n=3•2+5•2²+7•2³+…+（2n+1）•2ⁿ，
∴-T_n=3+2（2+2²+…+2^n-1）-（2n+1）•2ⁿ
=3+2•$\frac{2（1-{2}^{n-1}）}{1-2}$-（2n+1）•2ⁿ=（1-2n）•2ⁿ-1，
∴T_n=（2n-1）•2ⁿ+1．

點評 本題考查了等比數列的通項公式及其前n項和公式、數列的求和方法：“錯位相減法”，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．