Question

18．S_n為{a_n}的前n項和，已知a₁=1，S_n=n•a_n+1+2ⁿ，則數列{$\frac{1}{{a}_{n}-{a}_{n+1}}$}的前n項和T_n的表達式為T_n=2-$（\frac{1}{2}）^{n-1}$．

Answer 1

分析 S_n=n•a_n+1+2ⁿ，n≥2時，a_n=S_n-S_n-1，可得$\frac{1}{n（{a}_{n}-{a}_{n+1}）}$=$（\frac{1}{2}）^{n-1}$，再利用等比數列的求和公式即可得出．

解答 解：S_n=n•a_n+1+2ⁿ，
n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=n•a_n+1+2ⁿ-$[（n-1）•{a}_{n}+{2}^{n-1}]$，
∴n（a_n-a_n+1）=2^n-1，
∴$\frac{1}{n（{a}_{n}-{a}_{n+1}）}$=$（\frac{1}{2}）^{n-1}$，
數列{$\frac{1}{n（{a}_{n}-{a}_{n+1}）}$}的前n項和T_n=$\frac{1-（\frac{1}{2}）^{n}}{1-\frac{1}{2}}$=2-$（\frac{1}{2}）^{n-1}$，
故答案為：T_n=2-$（\frac{1}{2}）^{n-1}$．

點評 本題考查了數列遞推關系、等比數列的通項公式與求和公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．