Question

5．設f（x）=$\frac{-{2}^{x}+m}{{2}^{x+1}+n}$（m＞0，n＞0）．
（1）當m=n=1時，證明：f（x）不是奇函數；
（2）設f（x）是奇函數，求m與n的值；
（3）在（2）的條件下，求不等式f（f（x））+f（$\frac{3}{10}$）＜0的解集．

Answer 1

分析 （1）通過當m=n=1時，化簡f（x），通過求解f（-1）≠-f（1），證明f（x）不是奇函數．
（2）通過f（-x）=-f（x），通過待定系數法求解即可．
（3）判斷f（x）是R上單調減函數．利用單調性轉化求解不等式即可．

解答 （1）證明：當m=n=1時，f（x）=$\frac{-{2}^{x}+1}{{2}^{x+1}+1}$．
由于f（1）=$\frac{-2+1}{{2}^{2}+1}$=-$\frac{1}{5}$，f（-1）=$\frac{-\frac{1}{2}+1}{1+1}$=$\frac{1}{4}$，
所以f（-1）≠-f（1），f（x）不是奇函數．
（2）解：f（x）是奇函數時，f（-x）=-f（x），
即$\frac{-{2}^{-x}+m}{{2}^{-x+1}+n}$=-$\frac{-{2}^{x}+m}{{2}^{x+1}+n}$，對定義域內任意實數x成立．
化簡整理得（2m-n）•2^2x+（2mn-4）•2^x+（2m-n）=0，這是關于x的恒等式，
所以2mn-4=0，2m-n=0解得n=-2或n=2．
經檢驗m=1，n=2符合題意．
（3）解：由（2）可知，f（x）=$\frac{-{2}^{x}+1}{{2}^{x+1}+2}$，
易判斷f（x）是R上單調減函數．
由f（f（x））+f（$\frac{3}{10}$）＜0，得
f（f（x））＜f（$\frac{3}{10}$），f（x）＞-$\frac{3}{10}$，2^x＜4，得x＜2
即f（x）＞0的解集為（-∞，2）．

點評 本題考查函數與方程的綜合應用，考查轉化思想以及計算能力．