Question

10．已知{a_n}的前n項和為S_n，且滿足點（n，$\frac{{S}_{n}}{n}$）均在函數f（x）=40-x上．
（1）求數列{a_n}的通項公式；
（2）n為何值時，S_n的值最大，并求S_n的最大值．

Answer 1

分析 （1）根據點（n，$\frac{{S}_{n}}{n}$）均在函數f（x）=40-x上，得到S_n=40n-n²，再根據的遞推公式得到數列{a_n}的通項公式，
（2）由（1）得S_n=40n-n²=-（n-20）²+400，根據二次函數的性質即可求出．

解答 解：（1）點（n，$\frac{{S}_{n}}{n}$）均在函數f（x）=40-x上，
∴$\frac{{S}_{n}}{n}$=40-n，
∴S_n=40n-n²，
當n=1時，S₁=40-1²=39，
當n＞1時，a_n=S_n-S_n-1=（40n-n²）-[40（n-1）-（n-1）²]=-2n+41，
當n=1時，成立，
∴a_n=-2n+41
（2）由（1）得S_n=40n-n²=-（n-20）²+400，
當n=20時，S_n的值最大，S_n的最大值為400

點評 本題考查數列與函數的綜合，考查數列的通項公式，解題的關鍵是掌握數列求通項的方法，屬于中檔題