Question

10．設△ABC的內角A、B、C的對邊長分別為a，b，c，且ac=2b²．
（Ⅰ）求證：$cosB≥\frac{3}{4}$；
（Ⅱ）若cos（A-C）+cosB=1，求角B的大小．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由已知利用余弦定理，基本不等式即可證明得解．
（Ⅱ）由已知及三角函數恒等變換的應用化簡可得$sinAsinC=\frac{1}{2}$，又由2b²=ac，利用正弦定理可求sinB的值，結合范圍B∈（0，π），且$cosB≥\frac{3}{4}＞0$，知B為銳角，即可得解B的值．

解答 （本題滿分為10分）
解：（Ⅰ）因為$cosB=\frac{{{a^2}+{c^2}-{b^2}}}{2ac}=\frac{{{a^2}+{c^2}-\frac{1}{2}ac}}{2ac}≥\frac{{2ac-\frac{1}{2}ac}}{2ac}=\frac{3}{4}$，
所以$cosB≥\frac{3}{4}$．…（4分）
（Ⅱ）因為cos（A-C）+cosB=cos（A-C）-cos（A+C）=2sinAsinC=1，
所以$sinAsinC=\frac{1}{2}$，…（6分）
又由2b²=ac，得${sin^2}B=\frac{1}{2}sinAsinC=\frac{1}{4}$，
又B∈（0，π），且$cosB≥\frac{3}{4}＞0$，知B為銳角，
故$sinB=\frac{1}{2}$，得$B=\frac{π}{6}$．…（10分）

點評 本題主要考查了余弦定理，基本不等式，三角函數恒等變換的應用，正弦定理在解三角形中的應用，考查了計算能力和轉化思想，屬于基礎題．