Question

6．四棱錐P-BCDE，底面BCDE為等腰梯形，CB∥DE，PO⊥底面BCDE，F為PB中點，O為BC中點，PO=$\sqrt{3}$，BC=4，DE=CD=BE=2
（1）求證：EF∥平面PCD；
（2）求平面POD與平面PBE所成銳二面角的余弦值．

Answer 1

分析 （1）取PC的中點H，連接過DH，FH，證明FHDE是平行四邊形，然后利用直線與平面平行的判定定理證明即可．
（2）以O為坐標原點，OB所在直線為y軸，OP所在直線為z軸，BC的中垂線為x軸，求出相關點的坐標，設平面POD法向量，設平面PBE法向量，利用向量的數量積求解即可．

解答 （1）證明：在平面PCD中，取PC的中點H，連接過DH，FH，F為PB中點，可知：FH$\stackrel{∥}{=}$$\frac{1}{2}$BC，底面BCDE為等腰梯形，BC=4，DE=CD=BE=2，CB∥DE可知：DE$\stackrel{∥}{=}$$\frac{1}{2}$BC，所以：FH $\stackrel{∥}{=}$DE，四邊形FHDE是平行四邊形，所以，EF∥DH，DH?平面PCD，EF?平面PCD，∴EF∥平面PCD．
（2）底面BCDE為等腰梯形，CB∥DE，PO⊥底面BCDE，以O為坐標原點，OB所在直線為y軸，OP所在直線為z軸，BC的中垂線為x軸，如圖：

則O（0，0，0），P（0，0，$\sqrt{3}$），B（0，2，0），E（$\sqrt{3}$，1，0），D（$\sqrt{3}$，-1，0），
設平面POD法向量$\overrightarrow{n}$=（a，b，c）．可得$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{OP}•\overrightarrow{n}=0}\\{\overrightarrow{OD}•\overrightarrow{n}=0}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{c=0}\\{\sqrt{3}a-b=0}\end{array}\right.$，不妨令a=$\sqrt{3}$，
可得$\overrightarrow{n}$=（$\sqrt{3}，3，0）$，
設平面PBE法向量$\overrightarrow{m}$=（x，y，z），則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{PB}•\overrightarrow{m}=0}\\{\overrightarrow{BE}•\overrightarrow{m}=0}\end{array}\right.$，可得：$\left\{\begin{array}{l}{-2y+\sqrt{3}z=0}\\{\sqrt{3}x-y=0}\end{array}\right.$，不妨令x=$\sqrt{3}$，
可得$\overrightarrow{m}$=（$\sqrt{3}，3，2\sqrt{3}）$，
平面POD與平面PBE所成銳二面角的余弦值cos＜$\overrightarrow{m}$，$\overrightarrow{n}$＞=|$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}||\overrightarrow{n}|}$|=$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，夾角45⁰．

點評 本題考查直線與平面平行的判定定理的應用，二面角的平面角的求法，考查空間想象能力以及計算能力．