Question

16．f（x）是定義在R上的竒函數，且滿足f（l-x）=f（l+x），又當x∈〔0，1）時，f（x）=2^x-1，則f（log${\;}_{\frac{1}{2}}$6）的值等于（　　）

• A． $\frac{1}{2}$
• B． $\frac{5}{6}$
• C． -$\frac{1}{2}$
• D． -$\frac{5}{6}$

Answer 1

分析 由題意可知：x∈（-1，0）時，f（x）=-f（-x）=2-^x-1，則-3＜log${\;}_{\frac{1}{2}}$6＜-2，由題意可知：f（x）是周期為2的函數，由-1＜log${\;}_{\frac{1}{2}}$6+2＜0，f（log${\;}_{\frac{1}{2}}$6）=f（log${\;}_{\frac{1}{2}}$6+2）=f（log${\;}_{\frac{1}{2}}$$\frac{3}{2}$），即可求得f（log${\;}_{\frac{1}{2}}$6）的值．

解答 解：∵x∈〔0，1）時，f（x）=2^x-1，
∴x∈（-1，0）時，f（x）=-f（-x）=2^-x-1，
∵4＜6＜8，
∴-3＜log${\;}_{\frac{1}{2}}$6＜-2，
又f（l-x）=f（l+x），f（x）=f（2+x），
∴f（x）是周期為2的函數，
∵-1＜log${\;}_{\frac{1}{2}}$6+2＜0，
∴f（log${\;}_{\frac{1}{2}}$6）=f（log${\;}_{\frac{1}{2}}$6+2）=f（log${\;}_{\frac{1}{2}}$$\frac{3}{2}$）=-${2}^{-lo{g}_{\frac{1}{2}}\frac{3}{2}}$+1=-$\frac{3}{2}$+1=-$\frac{1}{2}$，
故選：C．

點評 本題考查函數的奇偶性及周期性，考查對數函數的運算性質，考查計算能力，屬于中檔題．