Question

1．求滿足下列條件的橢圓的標準方程：
（1）經過兩點$A（{-2，\sqrt{2}}），B（{\sqrt{6}，-1}）$；
（2）過點P（-3，2），且與橢圓$\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{4}=1$有相同的焦點．

Answer 1

分析 （1）設出橢圓的標準方程，代入點的坐標，即可求得橢圓的標準方程；
（2）由橢圓$\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{4}=1$，求得焦點坐標，設所求橢圓的方程為$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}-5}=1$，（a²＞5），將A（-3，2）代入橢圓方程，求得a²的值，即可求得橢圓的標準方程．

解答 解：（1）設所求的橢圓方程為mx²+ny²=1，（m＞0，n＞0，m≠n），
∵橢圓經過點$A（{-2，\sqrt{2}}），B（{\sqrt{6}，-1}）$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{4m+2n=1}\\{6m+n=1}\end{array}\right.$，
解得m=$\frac{1}{8}$，n=$\frac{1}{4}$，
∴所求的橢圓方程為$\frac{{x}^{2}}{8}+\frac{{y}^{2}}{4}=1$；
（2）∵橢圓$\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{4}=1$的焦點為F（±$\sqrt{5}$，0），
∴設所求橢圓的方程為$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}-5}=1$，（a²＞5），
把點（-3，2）代入，得$\frac{9}{{a}^{2}}+\frac{4}{{a}^{2}-5}=1$，
整理，得a⁴-18a²+45=0，
解得a²=15，或a²=3（舍）．
∴所求的橢圓方程為$\frac{{x}^{2}}{15}+\frac{{y}^{2}}{10}=1$．

點評 本題考查橢圓的標準方程及簡單性質，考查計算能力，屬于中檔題．