Question

9．已知集合M是同時滿足下列條件的函數f（x）的全體：①f（x）的定義域為（0，+∞）；②對任意的正實數x，都有f（x）=f（${\frac{1}{x}}$）成立．
（1）設函數f（x）=$\frac{x}{{1+{x^2}}}$（x＞0），證明：f（x）屬于集合M，且存在定義域為[2，+∞）的函數g（x），使得對任意的正實數x，都有g（x+$\frac{1}{x}}$）=f（x）成立；
（2）對于集合M中的任意函數f（x），證明：存在定義域為[2，+∞）的函數g（x），使得對任意的正實數x，都有g（x+$\frac{1}{x}}$）=f（x）成立．

Answer 1

分析 （1）函數f（$\frac{1}{x}$）=$\frac{\frac{1}{x}}{1+（\frac{1}{x}）^{2}}$=$\frac{x}{{1+{x^2}}}$=f（x）．故滿足①②．
（2）對任意的正實數x，f（x）=$\frac{x}{{1+{x^2}}}$=$（\frac{1+{x}^{2}}{x}）^{-1}$=$（\frac{1}{x}+x）^{-1}$=g（x+$\frac{1}{x}}$），⇒g（x）=$\frac{1}{x}$，∵$x+\frac{1}{x}≥2$．

解答 解：（1）函數f（x）=$\frac{x}{{1+{x^2}}}$（x＞0），滿足：①f（x）的定義域為（0，+∞）；
又∵函數f（$\frac{1}{x}$）=$\frac{\frac{1}{x}}{1+（\frac{1}{x}）^{2}}$=$\frac{x}{{1+{x^2}}}$=f（x）．故滿足②對任意的正實數x，都有f（x）=f（${\frac{1}{x}}$）成立．
∴f（x）屬于集合M．
（2）對任意的正實數x，f（x）=$\frac{x}{{1+{x^2}}}$=$（\frac{1+{x}^{2}}{x}）^{-1}$=$（\frac{1}{x}+x）^{-1}$=g（x+$\frac{1}{x}}$），⇒g（x）=$\frac{1}{x}$，∵$x+\frac{1}{x}≥2$，
即存在定義域為[2，+∞）的函數g（x），使得對任意的正實數x，都有g（x+$\frac{1}{x}}$）=f（x）成立．

點評 本題考查了抽象函數的解析式及定義域，理解函數的三要素的含義是關鍵，屬于基礎題．