Question

14．在△ABC中，內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，已知$1+\frac{tanA}{tanB}=\frac{2c}{{\sqrt{3}b}}$
（1）求角A的大小；
（2）現在給出下列三個條件：①a=1；②2c-（$\sqrt{3}$+1）b=0；③B=$\frac{π}{4}$，試從中選擇兩個條件可以確定△ABC，求所確定的△ABC的面積．

Answer 1

分析 （1）由已知利用三角形內角和定理，同角三角函數基本關系式，正弦定理可得$\frac{sinC}{cosAsinB}$=$\frac{2sinC}{\sqrt{3}sinB}$，結合sinC≠0，可得cosA=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，進而可求A．
（2）方法一：選擇①②，由余弦定理，可求b，c的值，進而利用三角形面積公式即可得解．
方法二：選擇①③，可求C=$\frac{7π}{12}$，由正弦定理可求c的值，利用三角形面積公式即可計算得解．

解答 解：（1）因為$1+\frac{tanA}{tanB}=\frac{2c}{{\sqrt{3}b}}$，
所以由正弦定理，得：1+$\frac{sinAcosB}{cosAsinB}$=$\frac{sin（A+B）}{cosAsinB}$=$\frac{2sinC}{\sqrt{3}sinB}$，
因為A+B+C=π，
所以：sin（A+B）=sinC，
所以$\frac{sinC}{cosAsinB}$=$\frac{2sinC}{\sqrt{3}sinB}$，
所以cosA=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，可得：A=$\frac{π}{6}$．
（2）方法一    選擇①②，可確定△ABC．
因為A=$\frac{π}{6}$，a=1，2c-（$\sqrt{3}$+1）b=0，
由余弦定理，得：1²=b²+（$\frac{\sqrt{3}+1}{2}$b）²-2b×$\frac{\sqrt{3}+1}{2}$b×$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
得b²=2，b=$\sqrt{2}$，c=$\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{2}$，
所以S_△ABC=$\frac{1}{2}$bcsinA=$\frac{1}{2}×\sqrt{2}×\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{2}×\frac{1}{2}$=$\frac{\sqrt{3}+1}{4}$．
方法二    選擇①③，可確定△ABC．
因為B=$\frac{π}{4}$，所以C=$\frac{7π}{12}$，
又sin$\frac{7π}{12}$=$\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$，
所以由正弦定理得：c=$\frac{asinC}{sinA}$=$\frac{1×sin\frac{7π}{12}}{sin\frac{π}{6}}$=$\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{2}$，
所以S_△ABC=$\frac{1}{2}$acsinB=$\frac{\sqrt{3}+1}{4}$．

點評 本題主要考查了三角形內角和定理，同角三角函數基本關系式，正弦定理，余弦定理，三角形面積公式在解三角形中的綜合應用，考查了轉化思想，屬于中檔題．