Question

19．以直角坐標系原點O為極點，x軸正半軸為極軸，并在兩種坐標系中取相同的長度單位，已知直線l的參數方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{1}{2}+tcosα}\\{y=tsinα}\end{array}\right.$（t為參數，0＜α＜π），曲線C的極坐標方程ρ=$\frac{2cosθ}{si{n}^{2}θ}$．
（1）求曲線C的直角坐標方程；
（2）設直線l與曲線C相交于A，B兩點，已知定點P（$\frac{1}{2}，\;0$），當α=$\frac{π}{3}$時，求|PA|+|PB|的值．

Answer 1

分析 （1）由$ρ=\frac{2cosθ}{{{{sin}^2}θ}}得{ρ^2}{sin^2}θ=2ρcosθ$，由此能求出曲線C的直角坐標方程．
（2）直線l的參數方程為$\left\{\begin{array}{l}x=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}t\\ y=\frac{{\sqrt{3}}}{2}t\end{array}\right.（t為參數）$，代入y²=2x，得3t²-4t-4=0，由此能求出|PA|+|PB|的值．

解答 （本小題滿分10分）
解：（1）由$ρ=\frac{2cosθ}{{{{sin}^2}θ}}得{ρ^2}{sin^2}θ=2ρcosθ$，
所以曲線C的直角坐標方程為y²=2x…（5分）
（2）因為$α=\frac{π}{3}$，直線l的參數方程為$\left\{\begin{array}{l}x=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}t\\ y=\frac{{\sqrt{3}}}{2}t\end{array}\right.（t為參數）$，
代入y²=2x，得3t²-4t-4=0，
設A，B兩點對應的參數分別為t₁，t₂，
則${t_1}+{t_2}=\frac{4}{3}$，${t_1}{t_2}=-\frac{4}{3}$
所以|PA|+|PB|=$|{{t_1}-{t_2}}|=\sqrt{{{（{t_1}+{t_2}）}^2}-4{t_1}{t_2}}$=$\frac{8}{3}$．…（10分）

點評 本題考查曲線的直角坐標方程的求法，考查線段和的求法，考查極坐標方程、直角坐標方程、參數方程的互化，考查推理論證能力、運算求解能力，考查化歸與轉化思想、函數與方程思想，是中檔題．