Question

4．已知曲線C：y=x²+2x在點（0，0）處的切線為l，則由C，l以及直線x=1圍成的區域面積等于$\frac{1}{3}$．

Answer 1

分析 求出函數的導數，可得切線的斜率，進而得到切線l的方程，求出A的坐標，確定被積函數與被積區間，求出原函數，結合三角形的面積公式，即可得到結論．

解答 解：由y=x²+2x的導數為y′=2x+2，
可得在點（0，0）處的切線斜率為2，
則切線l的方程為y=2x，
由x=1，可得y=2，即A（1，2），
由C，l以及直線x=1圍成的區域面積為：
S=${∫}_{0}^{1}$（x²+2x）dx-S_△OAH=（$\frac{1}{3}$x³+x²）|${\;}_{0}^{1}$-$\frac{1}{2}$×1×2=$\frac{1}{3}$+1-1=$\frac{1}{3}$．
故答案為：$\frac{1}{3}$．

點評 本題考查導數的運用：求切線的方程，求封閉圖形的面積注意運用定積分，考查運算能力，屬于中檔題．