Question

已知線段OA，OB，OC兩兩垂直，且OA=1，OB=1，OC=2．若線段OA，OB，OC在直線OP上的射影長相等，則其射影長為

 

．

Answer 1

考點：空間中直線與平面之間的位置關系

專題：空間位置關系與距離,空間角

分析：首先利用勾股定理求出解得：AC=BC=

5

，AB=

2

，利用余弦定理：AB²=AC²+BC²-2AC•BCcos∠ACB解得：cos∠ACB=

4

5

進一步求得：sin∠ACB=

3

5

，再求出S△ABC=

1

2

•

5

•

5

sin∠ACB=

3

2

最后利用：利用三棱錐的體積相等，V_C-AOB=V_O-ABC解得高，即射影的長．

解答： 解：線段OA，OB，OC兩兩垂直，且OA=1，OB=1，OC=2．若線段OA，OB，OC在直線OP上的射影長相等．
解得：AC=BC=

5

，AB=

2

利用余弦定理：
AB²=AC²+BC²-2AC•BCcos∠ACB
解得：cos∠ACB=

4

5

則：sin∠ACB=

3

5

S△ABC=

1

2

•

5

•

5

sin∠ACB=

3

2

利用三棱錐的體積相等
V_C-AOB=V_O-ABC

1

3

•

1

2

•1•1•2=

1

3

•

3

2

h
解得：h=

2

3

故答案為：

2

3

點評：本題考查的知識要點：線面的夾角，直線在平面上的射影，余弦定理的應用，三角形的面積及相關的運算問題，屬于中等題型．