Question

如圖，在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中．
（Ⅰ）若E為棱DD₁上的點，試確定點E的位置，使平面A₁C₁E∥B₁D；
（Ⅱ）若M為A₁B上的一動點，求證：DM∥平面D₁B₁C．

Answer 1

考點：直線與平面平行的判定

專題：空間位置關系與距離

分析：（Ⅰ）當E為棱DD₁上的中點時，平面A₁C₁E∥B₁D；連接A₁C₁，與D₁B₁相交于O，連接OE，得到OE∥B₁D，根據線面平行的判定定理可證；
（Ⅱ）連接A₁D，BD，只要證明平面A₁BD∥平面D₁B₁C．再由面面平行的性質可得所證．

解答： 解：（Ⅰ）當E為棱DD₁上的中點時，平面A₁C₁E∥B₁D；如圖，

連接A₁C₁，與D₁B₁相交于O，E為DD₁上的中點，連接OE，得到OE∥B₁D，
OE?平面A₁C₁E，B₁D，?平面 A₁C₁E，
∴B₁D∥平面A₁C₁E；
（Ⅱ）連接A₁D，BD，因為幾何體為正方體，如圖，
所以A₁D∥B₁C，A₁B∥D₁C，
所以平面A₁BD∥平面D₁B₁C．
DM?∥平面DA₁BD．
所以DM∥平面D₁B₁C．

點評：本題考查了正方體為載體的空間線面平行的判定，關鍵是將線面平行轉化為線線平行解答．