Question

5．已知$\overrightarrow{e_1}，\overrightarrow{e_2}$是平面上的一組基底，
（1）已知$\overrightarrow{AB}=2\overrightarrow{e_1}+\overrightarrow{e_2}$，$\overrightarrow{BE}=-\overrightarrow{e_1}+λ\overrightarrow{e_2}$，$\overrightarrow{EC}=-2\overrightarrow{e_1}+\overrightarrow{e_2}$，且A，E，C三點共線，求實數λ的值；
（2）若$\overrightarrow{e_1}，\overrightarrow{e_2}$是夾角為60°的單位向量，$\overrightarrow a=\overrightarrow{e_1}+λ\overrightarrow{e_2}$，$\overrightarrow b=-2λ\overrightarrow{e_1}-\overrightarrow{e_2}$，當-3≤λ≤5時，求$\overrightarrow a•\overrightarrow b$的最大值，最小值．

Answer 1

分析 （1）根據平面向量的線性運算以及共線定理，列出方程求出λ的值；
（2）根據平面向量的數量積以及二次函數的圖象與性質，即可求出$\overrightarrow a•\overrightarrow b$的最值．

解答 解：（1）$\overrightarrow{AB}=2\overrightarrow{e_1}+\overrightarrow{e_2}$，$\overrightarrow{BE}=-\overrightarrow{e_1}+λ\overrightarrow{e_2}$，
∴$\overrightarrow{AE}$=$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{BE}$=$\overrightarrow{{e}_{1}}$+（1+λ）$\overrightarrow{{e}_{2}}$，
又$\overrightarrow{EC}=-2\overrightarrow{e_1}+\overrightarrow{e_2}$，且A，E，C三點共線，
∴存在實數k，使得$\overrightarrow{AE}$=k$\overrightarrow{EC}$，
即$\overrightarrow{e_1}+（1+λ）\overrightarrow{e_2}=k（-2\overrightarrow{e_1}+\overrightarrow{e_2}）$，
整理得$（1+2k）\overrightarrow{e_1}=（k-1-λ）\overrightarrow{e_2}$，
∵$\overrightarrow{e_1}$，$\overrightarrow{e_2}$是平面內兩個不共線的非零向量，
∴$\left\{\begin{array}{l}1+2k=0\\ λ=k-1\end{array}\right.$，
解得$k=-\frac{1}{2}，λ=-\frac{3}{2}$；
（2）∵$\overrightarrow{e_1}$，$\overrightarrow{e_2}$是夾角為60⁰的單位向量，
∴$\overrightarrow{e_1}•\overrightarrow{e_2}=\frac{1}{2}$，
∴$\overrightarrow a•\overrightarrow b=（\overrightarrow{e_1}+λ\overrightarrow{e_2}）•（-2λ\overrightarrow{e_1}-\overrightarrow{e_2}）=-{λ^2}-3λ-\frac{1}{2}=-{（λ+\frac{3}{2}）^2}+\frac{7}{4}$；
且在$λ∈[-3，-\frac{3}{2}]$上是增函數，在$λ∈[-\frac{3}{2}，5]$上是減函數，
∴λ=-$\frac{3}{2}$時，$\overrightarrow a•\overrightarrow b$取最大值是$\frac{7}{4}$，
λ=5時，$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$取得最小值是-5²-3×5-$\frac{1}{2}$=$-40\frac{1}{2}$．

點評 本題考查了平面向量的線性運算以及共線定理和數量積、二次函數的圖象與性質的應用問題，是綜合性題目．