Question

（Ⅰ）雙曲線與橢圓

x2

27

+

y2

36

=1有相同焦點，且經過點（

15

，4），求其方程；
（Ⅱ）求焦點在x-2y-4=0上的拋物線的標準方程．

Answer 1

考點：拋物線的標準方程,雙曲線的標準方程

專題：計算題,圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：（Ⅰ）求出橢圓的焦點，設雙曲線方程為

y2

a2

-

x2

9-a2

=1，代入點（

15

，4），即可求出求其方程；
（Ⅱ）分類討論，利用拋物線的焦點在坐標軸上，即可求焦點在x-2y-4=0上的拋物線的標準方程．

解答： 解：（Ⅰ）橢圓

y2

36

+

x2

27

=1的焦點為（0，±3），c=3，…（2分）
設雙曲線方程為

y2

a2

-

x2

9-a2

=1，因為過點(

15

，4)，得

16

a2

-

15

9-a2

=1，得a²=4，或36，
而a²＜9，∴a²=4，雙曲線方程為

y2

4

-

x2

5

=1．…（6分）
（Ⅱ）由題意知拋物線的焦點在坐標軸上，又焦點在x-2y-4=0上，
令x=0，得y=-2，此時焦點為（0，-2），求得拋物線為x²=-8y…（8分）
令y=0，得x=4，焦點為（4，0）求得拋物線為y²=16x，
∴所求拋物線為x²=-8y和y²=16x．…（12分）

點評：本題考查雙曲線、橢圓、拋物線的方程與性質，考查學生的計算能力，比較基礎．