Question

10．已知橢圓E：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的離心率是$\frac{\sqrt{2}}{2}$，點F是橢圓的左焦點，點A為橢圓的右頂點，點B為橢圓的上頂點，且S_△ABF=$\frac{\sqrt{2}+1}{2}$．
（Ⅰ）求橢圓E的方程；
（Ⅱ）若直線l：x-2y-1=0交橢圓E于P，Q兩點，求△FPQ的周長和面積．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由S_△ABF=$\frac{\sqrt{2}+1}{2}$，可得$\frac{1}{2}（a+c）b$=$\frac{\sqrt{2}+1}{2}$，化為（a+c）b=$\sqrt{2}$+1，又$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，a²=b²+c²，聯立解出即可得出．
（Ⅱ）直線x-2y-1=0與x軸交于（1，0）恰為橢圓E的右焦點F′，則△FPQ的周長為=4a．設P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）．直線方程與橢圓方程聯立得，6y²+4y-1=0．可得|y₁-y₂|=$\sqrt{（{y}_{1}+{y}_{2}）^{2}-4{y}_{1}{y}_{2}}$．于是△FPQ的面積為$\frac{1}{2}|F{F}^{′}|$×|y₁-y₂．

解答 解：（Ⅰ）F（-c，0），A（a，0），B（0，b），
由S_△ABF=$\frac{\sqrt{2}+1}{2}$，可得$\frac{1}{2}（a+c）b$=$\frac{\sqrt{2}+1}{2}$，化為（a+c）b=$\sqrt{2}$+1，又$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，a²=b²+c²，
聯立解得a=$\sqrt{2}$，b=c=1．
故橢圓E的方程為：$\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}$=1． …（6分）
（Ⅱ）直線x-2y-1=0與x軸交于（1，0）恰為橢圓E的右焦點F′，
則△FPQ的周長為=|FQ|+|QF′|+|FP|+|PF′|=4a=4$\sqrt{2}$．…（9分）
設P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）．|
聯立$\left\{\begin{array}{l}{x-2y-1=0}\\{\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$得，6y²+4y-1=0．
∴y₁+y₂=-$\frac{2}{3}$，y₁•y₂=-$\frac{1}{6}$，
|y₁-y₂|=$\sqrt{（{y}_{1}+{y}_{2}）^{2}-4{y}_{1}{y}_{2}}$=$\sqrt{（-\frac{2}{3}）^{2}-4×（-\frac{1}{6}）}$=$\frac{\sqrt{10}}{3}$．
于是△FPQ的面積為$\frac{1}{2}|F{F}^{′}|$×|y₁-y₂|=$\frac{1}{2}×2×\frac{\sqrt{10}}{3}$=$\frac{\sqrt{10}}{3}$．…（12分）

點評 本題考查了橢圓的標準方程及其性質、三角形面積與周長計算公式、一元二次方程的根與系數的關系、弦長公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．