Question

5．若雙曲線$\frac{{x}^{2}}{16+k}$-$\frac{{y}^{2}}{8-k}$=1（-16＜k＜8）的一條漸近線方程是y=-$\sqrt{3}$x，點P（3，y₀）與點Q是雙曲線上關于坐標原點對稱的兩點，則四邊形F₁QF₂P的面積是．

• A． 12$\sqrt{6}$
• B． 6$\sqrt{6}$
• C． 12$\sqrt{2}$
• D． 6$\sqrt{2}$

Answer 1

分析 求出雙曲線的漸近線方程，解方程可得k=-10，求出雙曲線的a，b，c，代入點P，可得縱坐標，由題意可得四邊形F₁QF₂P為平行四邊形，求出三角形PF₁F₂的面積，即可得到所求面積．

解答 解：雙曲線$\frac{{x}^{2}}{16+k}$-$\frac{{y}^{2}}{8-k}$=1（-16＜k＜8），
可得漸近線方程為y=±$\sqrt{\frac{8-k}{16+k}}$x，
由題意可得$\sqrt{\frac{8-k}{16+k}}$=$\sqrt{3}$，
解得k=-10，
即有雙曲線的方程為$\frac{{x}^{2}}{6}$-$\frac{{y}^{2}}{18}$=1，
可得c=$\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}$=$\sqrt{6+18}$=2$\sqrt{6}$，
設P在第一象限，代入雙曲線方程可得
y₀=3$\sqrt{2}$×$\sqrt{\frac{9}{6}-1}$=3．
即有P（3，3），
由P，Q關于原點對稱，
可得四邊形F₁QF₂P為平行四邊形，
三角形PF₁F₂的面積為$\frac{1}{2}$|F₂F₁|•y₀=$\frac{1}{2}$×4$\sqrt{6}$×3=6$\sqrt{6}$，
即有四邊形F₁QF₂P的面積是2×6$\sqrt{6}$=12$\sqrt{6}$．
故選：A．

點評 本題考查雙曲線的方程和性質，主要是漸近線方程的運用，考查平行四邊形面積的求法，注意運用三角形的面積求法，考查化簡整理的運算能力，屬于中檔題．