Question

20．PA、PB、PC是從P點引出的三條射線，每兩條的夾角為60°，則直線PC與平面APB所成角的余弦值為（　　）

• A． $\frac{1}{2}$
• B． $\frac{{\sqrt{6}}}{3}$
• C． $\frac{{\sqrt{3}}}{3}$
• D． $\frac{{\sqrt{3}}}{2}$

Answer 1

分析 在PC上任取一點D并作PO⊥平面APB，則∠DPO就是直線PC與平面APB所成的角，由此能求出直線PC與平面PAB所成角的余弦值．

解答 解：在PC上任取一點D并作PO⊥平面APB，
則∠DPO就是直線PC與平面APB所成的角．        
過點O作OE⊥PA，OF⊥PB，
∵DO⊥平面APB，∴DE⊥PA，DF⊥PB．
△DEP≌△DFP，∴EP=FP，∴△OEP≌△OFP，
∵∠APC=∠BPC=60°，∴點O在∠APB的平分線上，即∠OPE=30°．
設PE=1，∵∠OPE=30°，∴OP=$\frac{1}{cos30°}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
在直角△PED中，∠DPE=60°，PE=1，則PD=2．
在直角△DOP中，OP=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，PD=2．則cos∠DPO=$\frac{OP}{PD}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$．
即直線PC與平面PAB所成角的余弦值是 $\frac{\sqrt{3}}{3}$．
故選：C．

點評 本題考查線面角的余弦值的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意空間思維能力的培養．