Question

9．已知函數f（x）=ax-lnx，函數g（x）=$\frac{1}{3}$bx³-bx，a∈R且b≠0．
（1）討論函數f（x）的單調性；
（2）若a=1，且對任意的x₁∈（1，2），總存在x₂∈（1，2），使f（x₁）+g（x₂）=0成立，求實數b的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求出函數的導數，通過討論a的范圍，求出函數的單調區間即可；
（2）設h（x）=-f（x）在（1，2）上的值域是A，函數g（x）在（1，2）上的值域是B，則A⊆B，根據函數的單調性分別求出集合A、B，從而求出b的范圍即可．

解答 解：（1）f′（x）=a-$\frac{1}{x}$=$\frac{ax-1}{x}$，（x＞0），
當a≤0時，f′（x）＜0，則f（x）在（0，+∞）遞減，
a＞0時，由f′（x）＞0，得：x＞$\frac{1}{a}$，由f′（x）＜0得0＜x＜$\frac{1}{a}$，
∴f（x）在（0，$\frac{1}{a}$）遞減，在（$\frac{1}{a}$，+∞）遞增；
（2）∵對任意的x₁∈（1，2），總存在x₂∈（1，2），
使得f（x₁）+g（x₂）=0，
∴對任意的x₁∈（1，2），
總存在x₂∈（1，2），使得g（x₂）=-f（x₁），
設h（x）=-f（x）在（1，2）上的值域是A，
函數g（x）在（1，2）上的值域是B，則A⊆B，
當x∈（1，2）時，h′（x）=$\frac{1-x}{x}$＜0，
即函數h（x）在（1，2）上遞減，
∴h（x）∈（ln2-2，-1），
g′（x）=bx²-b=b（x+1）（x-1），
①當b＜0時，g（x）在（1，2）是減函數，
此時，g（x）的值域是B=（$\frac{2}{3}$b，-$\frac{2}{3}$b），
∵A⊆B，又-$\frac{2}{3}$b≥0＞-1，
∴$\frac{2}{3}$b≤ln2-2，
即b≤$\frac{3}{2}$ln2-3，
②當b＞0時，g（x）在（1，2）上是指數，
此時，g（x）的值域是B=（-$\frac{2}{3}$b，$\frac{2}{3}$b），
∵A⊆B，
∴-$\frac{2}{3}$b≤ln2-2，
∴b≥-$\frac{3}{2}$（ln2-2）=3-$\frac{3}{2}$ln2，
綜上可得b的范圍是（-∞，$\frac{3}{2}$ln2-3]∪[3-$\frac{3}{2}$ln2，+∞）．

點評 本題考查了函數的單調性、最值問題，考查導數的應用以及集合的包含關系，是一道中檔題．