Question

7．從四面體ABCD的6條棱的中點及其四個頂點共10個點中任取4個點，則這四個點不共面的概率是（　　）

• A． $\frac{5}{7}$
• B． $\frac{7}{10}$
• C． $\frac{24}{35}$
• D． $\frac{47}{70}$

Answer 1

分析 利用組合求出10個點中取4個點的所有的基本事件個數；
利用分類討論的方法求出取出的四點在一個平面上的所有的基本事件個數；
利用對立事件求出不共面的所有的基本的事件個數；
利用古典概型的概率公式求出這四個點不共面的概率值．

解答 解：10個點中取4個點的取法為C₁₀⁴=210種，只要求出共面的即可；
共面的分三種情況：
①、四個點都在四面體的某一個面上，每個面6個點，有 C₆⁴=15種，
四個面共有4×15=60種情況；
②、其中三點共線，另一個點與此三點不在四面體的某一個面上，
而在與此三點所在直線異面的那條直線的中點，
顯然只有6種情況（因為四面體只有6條邊）；
③、其中兩點所在直線與另兩點所在直線平行，
且這四個點也不在四面體的某一個面上，畫圖可得出只有3種情況；
因此，取四個不共面的點的不同取法共有：210-60-6-3=141
所以這四個點不共面的概率為P=$\frac{141}{210}$=$\frac{47}{70}$．
故選：D．

點評 本題考查了利用排列、組合求古典概型的概率問題，是較難的題目．