Question

3．已知函數f（x）=a+$\frac{h（x）-3sinx}{h（x）}$（x∈R）存在最大值M和最小值N，若函數h（x）是R上的偶函數，且M+N=8．則實數a的值為3．

Answer 1

分析 由題可知，f（x）=a+1-$\frac{3sinx}{h（x）}$，令g（x）=$\frac{3sinx}{h（x）}$；由于h（x）是偶函數，sinx是奇函數，故g（x）為奇函數．
由于f（x）存在最大值與最小值，則g（x）也存在最大值和最小值；g（x）為奇函數，則g（x）_min+g（x）_max=0

解答 解：由題可知，f（x）=a+1-$\frac{3sinx}{h（x）}$，令g（x）=$\frac{3sinx}{h（x）}$；
由于h（x）是偶函數，sinx是奇函數，故g（x）為奇函數．
由于f（x）存在最大值與最小值，則g（x）也存在最大值和最小值；
g（x）為奇函數，則g（x）_min+g（x）_max=0
f（x）=a+1-3g（x）
則f（x）_min+f（x）_max=2（a+1）-3[g（x）_min+g（x）_max]
由于g（x）_min+g（x）_max=0，M+N=8；
則有2（a+1）=8，⇒a=3．
故答案為：3

點評 本題主要考查了函數的奇偶性與對稱性，函數的最值問題，屬中等題．