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3.已知函數f(x)=a+$\frac{h(x)-3sinx}{h(x)}$(x∈R)存在最大值M和最小值N,若函數h(x)是R上的偶函數,且M+N=8.則實數a的值為3.

分析 由題可知,f(x)=a+1-$\frac{3sinx}{h(x)}$,令g(x)=$\frac{3sinx}{h(x)}$;由于h(x)是偶函數,sinx是奇函數,故g(x)為奇函數.
由于f(x)存在最大值與最小值,則g(x)也存在最大值和最小值;g(x)為奇函數,則g(x)min+g(x)max=0

解答 解:由題可知,f(x)=a+1-$\frac{3sinx}{h(x)}$,令g(x)=$\frac{3sinx}{h(x)}$;
由于h(x)是偶函數,sinx是奇函數,故g(x)為奇函數.
由于f(x)存在最大值與最小值,則g(x)也存在最大值和最小值;
g(x)為奇函數,則g(x)min+g(x)max=0
f(x)=a+1-3g(x)
則f(x)min+f(x)max=2(a+1)-3[g(x)min+g(x)max]
由于g(x)min+g(x)max=0,M+N=8;
則有2(a+1)=8,⇒a=3.
故答案為:3

點評 本題主要考查了函數的奇偶性與對稱性,函數的最值問題,屬中等題.

練習冊系列答案
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