Question

9．在數列{a_n}中，S_n+1=4a_n+2，a₁=1．
（1）b_n=a_n+1-2a_n，求證數列{b_n}是等比數列；
（2）求數列{a_n}的通項公式及其前n項和S_n．

Answer 1

分析 （1）若b_n=a_n+1-2a_n，利用數列的遞推關系，結合等比數列的定義，利用構造法即可證明數列{b_n}是等比數列；
（2）令${c}_{n}=\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$，則${c}_{n+1}-{c}_{n}=\frac{1}{2}$，¹利用作差法結合等差數列的定義即可得數列{c_n}是等差數列．

解答 解（1）證明：∵S_n=4a_n-1+1（n≥2）且a₁=1．
∴S_n+1=4a_n+1．兩式作差得：S_n+1-S_n=4a_n+1-4a_n-1-1=4a_n-4a_n-1．
故a_n+1=4a_n-4a_n-1．即a_n+1-2a_n=2a_n-4a_n-1=2（a_n-2a_n-1），
即b_n=2b_n-1，n≥2，則數列{b_n}是公比q=2的等比數列；
（2）由（1）知數列{a_n+1-2a_n}是公比q=2的等比數列；
∵S_n=4a_n-1+1（n≥2）且a₁=1．∴S₂=4a₁+1=4+1=5，
即1+a₂=5，解得a₂=5-1=4．則a₂-2a₁=4-2=2，
即數列{a_n+1-2a_n}的首項為2，則a_n+1-2a_n=2•2^n-1=2ⁿ．
令${c}_{n}=\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$，則${c}_{n+1}-{c}_{n}=\frac{1}{2}$，即數列{c_n}是公差d=$\frac{1}{2}$，首項為$\frac{1}{2}$的等差數列．
∴${c}_{n}=\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}（n-1）=\frac{n}{2}$，∴a_n=n•2^n-1

點評 本題主要考查等差數列和等比數列的判斷，利用數列的遞推關系，進行變形是解決本題的關鍵．考查學生的推理能力．