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20.函數f(x)的定義域為R,且滿足f(1)=2,f′(x)<1,則不等式f(x)<x+1的解集為(  )
A.(1,+∞)B.(-∞,1)C.(-1,1)D.(-∞,-1)∪(1,+∞)

分析 令g(x)=f(x)-x-1,求出g(x)的單調性,從而求出不等式的解集即可.

解答 解:令g(x)=f(x)-x-1,則g′(x)=f′(x)-1,
由f′(x)<1,得g′(x)<0,所以g(x)在R上為減函數,
又g(1)=f(1)-1=2-2=0,
所以當x>1時,g(x)<g(1)=0,即f(x)<x+1,
所以不等式f(x)<x+1的解集是(1,+∞),
故答案為:(1,+∞),
故選:A.

點評 本題考查了函數的單調性問題,考查導數的應用,令g(x)=f(x)-x-1,求出g(x)的單調性是解題的關鍵,本題是一道中檔題.

練習冊系列答案
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A.實軸長為$2\sqrt{5}$,虛軸長為4,漸近線方程為$y=±\frac{{2\sqrt{5}}}{5}x$,離心率$e=\frac{{3\sqrt{5}}}{5}$
B.實軸長為$2\sqrt{5}$,虛軸長為4,漸近線方程為$y=±\frac{{\sqrt{5}}}{5}x$,離心率$e=\frac{9}{5}$
C.實軸長為$2\sqrt{5}$,虛軸長為4,漸近線方程為$y=±2\sqrt{5}x$,離心率$e=\frac{6}{5}$
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5.若sin$\frac{α}{2}$=$\frac{{\sqrt{3}}}{3}$,則cos2α的值為(  )
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