Question

11．在直角坐標系xOy中，曲線C的參數方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=5cosφ}\\{y=bsinφ}\end{array}\right.$（φ為參數，0＜b＜5）
以O為極點，x軸的非負半軸為極軸建立極坐標系，直線l的極坐標方程為ρsin（θ-$\frac{π}{4}$）=$\frac{\sqrt{2}}{2}$c（c為曲線C的半焦距）
（Ⅰ）求曲線C的普通方程及直線l的直角坐標方程
（Ⅱ）點M為曲線C上任意一點，若點M到直線l的距離的最大值為4$\sqrt{2}$，求b的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）消去參數求曲線C的普通方程，利用極坐標方程與直角坐標方程的互化方法，可得直線l的直角坐標方程
（Ⅱ）點M為曲線C上任意一點，若點M到直線l的距離的最大值為4$\sqrt{2}$，利用參數，求得點M到直線l的距離，即可求b的值．

解答 解：（Ⅰ）曲線C的參數方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=5cosφ}\\{y=bsinφ}\end{array}\right.$（φ為參數，0＜b＜5），普通方程為$\frac{{x}^{2}}{25}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（0＜b＜5），
直線l的極坐標方程為ρsin（θ-$\frac{π}{4}$）=$\frac{\sqrt{2}}{2}$c，直線l的直角坐標方程y=x+c；
（Ⅱ）設M（5cosφ，bsinφ），
點M到直線l的距離d=$\frac{|5cosφ-bsinφ+c|}{\sqrt{2}}$=$\frac{|\sqrt{25+{b}^{2}}sin（φ+θ）+c|}{\sqrt{2}}$，
∴$\frac{|\sqrt{50-{c}^{2}}+c|}{\sqrt{2}}$=4$\sqrt{2}$，∴c=1或7（舍去），
∴$b=2\sqrt{6}$．

點評 本題主要考查把極坐標方程、參數方程化為直角坐標方程的方法，點到直線的距離公式、輔助角公式的應用，屬于中檔題．