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11.在直角坐標系xOy中,曲線C的參數方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=5cosφ}\\{y=bsinφ}\end{array}\right.$(φ為參數,0<b<5)
以O為極點,x軸的非負半軸為極軸建立極坐標系,直線l的極坐標方程為ρsin(θ-$\frac{π}{4}$)=$\frac{\sqrt{2}}{2}$c(c為曲線C的半焦距)
(Ⅰ)求曲線C的普通方程及直線l的直角坐標方程
(Ⅱ)點M為曲線C上任意一點,若點M到直線l的距離的最大值為4$\sqrt{2}$,求b的值.

分析 (Ⅰ)消去參數求曲線C的普通方程,利用極坐標方程與直角坐標方程的互化方法,可得直線l的直角坐標方程
(Ⅱ)點M為曲線C上任意一點,若點M到直線l的距離的最大值為4$\sqrt{2}$,利用參數,求得點M到直線l的距離,即可求b的值.

解答 解:(Ⅰ)曲線C的參數方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=5cosφ}\\{y=bsinφ}\end{array}\right.$(φ為參數,0<b<5),普通方程為$\frac{{x}^{2}}{25}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1(0<b<5),
直線l的極坐標方程為ρsin(θ-$\frac{π}{4}$)=$\frac{\sqrt{2}}{2}$c,直線l的直角坐標方程y=x+c;
(Ⅱ)設M(5cosφ,bsinφ),
點M到直線l的距離d=$\frac{|5cosφ-bsinφ+c|}{\sqrt{2}}$=$\frac{|\sqrt{25+{b}^{2}}sin(φ+θ)+c|}{\sqrt{2}}$,
∴$\frac{|\sqrt{50-{c}^{2}}+c|}{\sqrt{2}}$=4$\sqrt{2}$,∴c=1或7(舍去),
∴$b=2\sqrt{6}$.

點評 本題主要考查把極坐標方程、參數方程化為直角坐標方程的方法,點到直線的距離公式、輔助角公式的應用,屬于中檔題.

練習冊系列答案
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