Question

3．已知定義在實數集R上的函數f（x）=ax³+bx²+cx+d，其中a，b，c，d是實數．若函數f（x）在區間（-∞，-1）和（3，+∞）上是增函數，在區間（-1，3）上是減函數，并且f（0）=-7，f′（0）=-18，求函數f（x）的表達式．

Answer 1

分析 因為函數f（x）在區間（-∞，-1）和（3，+∞）上都是增函數，在區間（-1，3）上是減函數，則導數在區間（-∞，-1）和（3，+∞）上都大于零，在區間（-1，3）上小于零，可知，-1和3對應的導數值為0，再由f′（0）=-18，可求得導函數，再利用導函數與原函數間的關系，表示出原函數，再由f（0）=-7求解．

解答 解：f′（x）=3ax²+2bx+c．
由f'（0）=-18得c=-18，即f′（x）=3ax²+2bx-18，
又由于f（x）在區間（-∞，-1）和（3，+∞）上是增函數，
在區間（-1，3）上是減函數，
所以-1和3必是f′（x）=0的兩個根．
從而$\left\{\begin{array}{l}{3a-2b-18=0}\\{27a+6b-18=0}\end{array}\right.$，
又根據f（0）=-7，
所以f（x）=2x³-6x²-18x-7．

點評 本題主要考查函數的單調性問題，當導數大于零時，函數為增函數，當導數小于零時，函數為減函數．