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3.已知定義在實數集R上的函數f(x)=ax3+bx2+cx+d,其中a,b,c,d是實數.若函數f(x)在區間(-∞,-1)和(3,+∞)上是增函數,在區間(-1,3)上是減函數,并且f(0)=-7,f′(0)=-18,求函數f(x)的表達式.

分析 因為函數f(x)在區間(-∞,-1)和(3,+∞)上都是增函數,在區間(-1,3)上是減函數,則導數在區間(-∞,-1)和(3,+∞)上都大于零,在區間(-1,3)上小于零,可知,-1和3對應的導數值為0,再由f′(0)=-18,可求得導函數,再利用導函數與原函數間的關系,表示出原函數,再由f(0)=-7求解.

解答 解:f′(x)=3ax2+2bx+c.
由f'(0)=-18得c=-18,即f′(x)=3ax2+2bx-18,
又由于f(x)在區間(-∞,-1)和(3,+∞)上是增函數,
在區間(-1,3)上是減函數,
所以-1和3必是f′(x)=0的兩個根.
從而$\left\{\begin{array}{l}{3a-2b-18=0}\\{27a+6b-18=0}\end{array}\right.$,
又根據f(0)=-7,
所以f(x)=2x3-6x2-18x-7.

點評 本題主要考查函數的單調性問題,當導數大于零時,函數為增函數,當導數小于零時,函數為減函數.

練習冊系列答案
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