Question

已知數列{a_n}的前n項和為S_n，滿足a₁=1，a_n+1=S_n+n+1，n∈N^*，
（I）求證：數列{a_n+1}是等比數列；
（Ⅱ）求a₁+2a₂+3a₃+…+na_n．

Answer 1

考點：數列的求和,等比關系的確定

專題：等差數列與等比數列

分析：（Ⅰ）首先根據遞推關系式，構造出新數列，進一步證明結果．
（Ⅱ）首先利用恒等變換，進一步求出數列的通項公式，然后利用乘公比錯位相減法求數列的和．

解答： 解：（Ⅰ）已知數列{a_n}的前n項和為S_n，滿足a₁=1，a_n+1=S_n+n+1，n∈N^*①，
則：a_n=S_n-1+n②
則：①-②得：a_n+1=2a_n+1
整理得：a_n+1+1=2（a_n+1）
所以：

an+1+1

an+1

=2（常數），
由于：a₁=1，所以a₁+1≠0
則：數列{a_n+1}是等比數列
（Ⅱ）由（Ⅰ）得到：an+1=(a1+1)2n-1=2n
a₁+2a₂+3a₃+…+na_n=（a₁+1）+2（a₂+1）+…+n（a_n+1）-（1+2+…+n）
=1•2+2•22+…+n•2n-

n(n+1)

2

設Tn=1•2+2•22+…+n•2n①
則：2Tn=1•22+2•23+…+n•2n+1②
所以：①-②得：
Tn=2n+1-2-n•2n+1=（n-1）•2ⁿ⁺¹+2
所以：a₁+2a₂+3a₃+…+na_n=（n-1）•2ⁿ⁺¹+2-

n(n+1)

2

=(n-1)2n+1-

n2+n-4

2

點評：本題考查的知識要點：利用遞推關系式構造新數列求數列的通項公式．恒等變換的應用，乘公比錯位相減法的應用．屬于基礎題型．