Question

3．已知O為坐標原點，A（1，2），點P的坐標（x，y）滿足約束條件$\left\{\begin{array}{l}{x+|y|≤1}\\{x≥0}\end{array}\right.$，則z=$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OP}$的最大值為2．

Answer 1

分析 去絕對值號，便可將不等式組$\left\{\begin{array}{l}{x+|y|≤1}\\{x≥0}\end{array}\right.$變成$\left\{\begin{array}{l}{x+y≤1}\\{y≥0}\\{x≥0}\end{array}\right.$，或$\left\{\begin{array}{l}{x-y≤1}\\{y＜0}\\{x≥0}\end{array}\right.$，這樣即可畫出點P所在的平面區域，然后可求出z=x+2y，進而得到$y=-\frac{1}{2}x+\frac{z}{2}$，該方程表示平行于$y=-\frac{1}{2}x$的一族平行直線，并且在y軸上的截距為$\frac{z}{2}$，從而得出截距最大時，z最大，這樣結合圖形即可找出直線過哪點時，截距最大，從而求出z的最大值．

解答 解：由不等式組$\left\{\begin{array}{l}{x+|y|≤1}\\{x≥0}\end{array}\right.$得，$\left\{\begin{array}{l}{x+y≤1}\\{y≥0}\\{x≥0}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x-y≤1}\\{y＜0}\\{x≥0}\end{array}\right.$；
∴點P所在平面區域如下圖陰影部分所示：
$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OP}=x+2y$；
∴z=x+2y；
∴$y=-\frac{1}{2}x+\frac{z}{2}$，表示平行于$y=-\frac{1}{2}x$的一族平行直線，在y軸上的截距為$\frac{z}{2}$；
∴截距$\frac{z}{2}$最大時，z最大；
由圖看出，直線過點A₁（0，1）時，z最大，最大值為2．
故答案為：2．

點評 含絕對值不等式的處理方法：去絕對值號，能畫出二元一次不等式組所表示的平面區域，能求直線在y軸上的截距，以及線性規劃的知識．