Question

12．已知三棱錐A-BCD內接于球O，AB=AD=AC=BD=$\sqrt{3}$，∠BCD=60°，則球O的體積為$\frac{9\sqrt{2}π}{8}$．

Answer 1

分析 如圖：設G為△BCD的中心，由AB=AD=AC=BD=$\sqrt{3}$，可得AG⊥平面BCD，并且經過球的球心O．利用等邊三角形與直角三角形的邊角關系即可得出．

解答 解：如圖：
設G為△BCD的中心，∵AB=AD=AC=BD=$\sqrt{3}$，
∴AG⊥平面BCD，并且經過球的球心O．
在等邊△BCD中，GB=r=$\frac{\sqrt{3}}{2sin6{0}^{°}}$=1，
在RT△ABG中，AG=$\sqrt{A{B}^{2}-G{B}^{2}}$=$\sqrt{2}$，
設球的半徑為R，
OB²=OG²+GB²，即R²=$（\sqrt{2}-R）^{2}$+1，
解得R=$\frac{3\sqrt{2}}{4}$．
∴V=$\frac{4}{3}π{R}^{3}$=$\frac{9\sqrt{2}π}{8}$．
故答案為：$\frac{9\sqrt{2}π}{8}$．

點評 本題考查了正三棱錐的性質、球的性質與體積計算公式、等邊三角形與直角三角形的邊角關系，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．