Question

已知直角梯形中，， 過 作，垂足為，分別為的中點，現將沿折疊使二面角的平面角的正切值為.
（1）求證：平面；
（2）求異面直線與所成的角的余弦值；
（3）求二面角的大小．

Answer 1

（1）見解析（2）（3）

（1）取中點，連接，，又為中點
，平面，平面，， 同理可證 ，平面，平面平面， 平面 平面．
（2）延長，過作垂直直線于，易證平面，，，二面角的平面角的正切值為，∴
∵，∴， ，過點做，以為原點，以射線分別為的正方向建立直角坐標系（如圖）
則，， ，，，，，．
， ，      
∴異面直線與所成的角余弦值為．

（3）取中點，易證平面，所以面一個法向量為 
，，設平面的法向量為
則，
取得得平面的一個法向量為∴ 
∴二面角的大小為．