Question

如圖，四棱柱ABCD—A₁B₁C₁D₁的底面邊長和側棱長都等于2，平面A₁ACC₁⊥平面ABCD，∠ABC＝∠A₁AC＝60°，點O為底面對角線AC與BD的交點.
（Ⅰ）證明：A₁O⊥平面ABCD；
（Ⅱ）求二面角D—A₁A—C的平面角的正切值.

Answer 1

（1）見解析（2）2

（Ⅰ）由已知AB＝BC＝2，∠ABC＝60°，則
△ ABC為正三角形，所以AC＝2.                                              
△ 因為點O為AC的中點，則AO＝1.
又AA₁＝2，∠A₁AO＝60°，
在△A₁OA中，由余弦定理，得
.                                   
所以A₁O²＋AO²＝AA₁²，所以A₁O⊥AC.                                        
因為平面AA₁C_­1C⊥平面ABCD，其交線為AC，
所以A₁O⊥平面ABCD.                                                        
（Ⅱ）因為底面ABCD為菱形，則BD⊥AC.又BD⊥A₁O，則BD⊥平面A₁ACC₁.     
過點O作OE⊥AA₁垂足為E，連接DE，則AA₁⊥DE，
所以∠DEO為二面角D－AA₁－C的平面角.                                     
在Rt△AOD中，OD=.                                     
在Rt△AEO中，OE＝AO·sin∠EAO＝.                                     
在Rt△DOE中，tan∠DEO＝.
故二面角D—A₁A—C的平面角的正切值為2.