Question

如圖，在四棱錐P—ABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD為正方形，PD=DC，E、F分別是AB，PB的中點.

（I）求證：EF⊥CD；
（II）求DB與平面DEF所成角的正弦值；
（III）在平面PAD內是否存在一點G，使G在平面PCB上的射影為△PCB的外心，若存在，試確定點G的位置；若不存在，說明理由.

Answer 1

（2）  （3）中點

以DA，DC，DP所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標系（如圖）.

、
設AD=a，則D（0，0，0），A（a，0，0），B（a，a，0），C（0，a，0），E（a，，0），
P（0，0，a），F（，，）.
  （I）

（II）設平面DEF的法向量為
得
取x=1，則y=－2，z=1.


設DB與平面DEF所成角為
（III）假設存在點G滿足題意
因為

∴存在點G，其坐標為（，0，0），即G點為AD的中點