Question

1．已知$f（x）=\left\{{\begin{array}{l}{4x-{x^2}，x＜1}\\{{e^x}，x≥1}\end{array}}\right.$，若方程f（x）=kx有且僅有一個實數解，則實數k的取值范圍為（-∞，e）．

Answer 1

分析 畫出分段函數與y=kx的圖象，利用方程f（x）=kx有且僅有一個實數解，判斷看的范圍即可．

解答 解：$f（x）=\left\{{\begin{array}{l}{4x-{x^2}，x＜1}\\{{e^x}，x≥1}\end{array}}\right.$，若方程f（x）=kx有且僅有一個實數解，
就是分段函數與y=kx的圖象只有一個交點，如圖：

顯然k小于OA的斜率時滿足題意，y=e^x，x≥1，導函數為y′=e^x，是增函數，當x=1時函數取得最小值，此時OA的斜率最小，最小值為：e，可得k＜e．
故答案為：（-∞，e）．

點評 本題考查函數的零點的求法，導數的應用，函數的單調性與導數的關系，考查計算能力．